LaTeX 语法

1. LaTeX 数学模式

1.1. 行内数学模式

在文本中插入数学公式：

$E=mc^2$

$E=mc^2$ 行内模式的数学公式，适用于正文中的数学表达。

1.2. 独立数学模式

使数学公式独占一行：

$$
E=mc^2
$$

独立模式的数学公式，适用于单独一行的数学表达。

E=mc^2

1.3. 带编号公式

\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}

\begin{equation} E=mc^2 \end{equation}

带有编号的数学公式，适用于论文或报告中公式引用。（Markdown中可能无法显示编号）

2. 保留字符

LaTeX 环境中具有特殊含义的保留字符，不能直接使用，必须通过指定的语法实现：

符号	LaTeX 代码	中文说明
#	`\#`	井号，数学环境中无特殊含义
$	`\$`	美元符号，通常用于货币符号
%	`\%`	百分号，表示百分比
&	`\&`	与符号，通常用于逻辑表达
_	`\_`	下划线，LaTeX 需要转义
{}	`\{ \}`	花括号，用于分组
\	`\backslash`	反斜杠，LaTeX 转义符

3. 希腊字母

3.1. 小写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
$\alpha$	`\alpha`	阿尔法
$\beta$	`\beta`	贝塔
$\gamma$	`\gamma`	伽马
$\delta$	`\delta`	德尔塔
$\epsilon$	`\epsilon`	艾普西龙（普通 epsilon）
$\varepsilon$	`\varepsilon`	伪艾普西龙（变体 epsilon）
$\zeta$	`\zeta`	截塔
$\eta$	`\eta`	伊塔
$\theta$	`\theta`	西塔
$\vartheta$	`\vartheta`	变体西塔
$\iota$	`\iota`	约塔
$\kappa$	`\kappa`	卡帕
$\lambda$	`\lambda`	兰布达
$\mu$	`\mu`	缪
$\nu$	`\nu`	纽
$\xi$	`\xi`	克西
$\pi$	`\pi`	派（圆周率）
$\varpi$	`\varpi`	变体派
$\rho$	`\rho`	罗
$\varrho$	`\varrho`	变体罗
$\sigma$	`\sigma`	西格玛
$\varsigma$	`\varsigma`	终结西格玛（变体 sigma）
$\tau$	`\tau`	陶
$\upsilon$	`\upsilon`	宇普西龙
$\phi$	`\phi`	菲
$\varphi$	`\varphi`	变体菲
$\chi$	`\chi`	氚（发音接近“开”）
$\psi$	`\psi`	普赛
$\omega$	`\omega`	欧米伽

3.2. 大写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
$\Gamma$	`\Gamma`	伽马（大写）
$\Delta$	`\Delta`	德尔塔（大写）
$\Theta$	`\Theta`	西塔（大写）
$\Lambda$	`\Lambda`	兰布达（大写）
$\Xi$	`\Xi`	克西（大写）
$\Pi$	`\Pi`	派（大写，数学常用于求和）
$\Sigma$	`\Sigma`	西格玛（大写，数学常用于求和）
$\Upsilon$	`\Upsilon`	宇普西龙（大写）
$\Phi$	`\Phi`	菲（大写）
$\Psi$	`\Psi`	普赛（大写）
$\Omega$	`\Omega`	欧米伽（大写，数学物理常用）

4. 二元运算符

符号	LaTeX 代码	中文说明
$+$	`+`	加号
$-$	`-`	减号
$\times$	`\times`	乘号
$\div$	`\div`	除号
$\cdot$	`\cdot`	乘积点
$\oplus$	`\oplus`	直和（用于向量空间、群论）
$\ominus$	`\ominus`	直差
$\otimes$	`\otimes`	直积
$\oslash$	`\oslash`	直除
$\odot$	`\odot`	圆点乘法
$\star$	`\star`	星乘法
$\circ$	`\circ`	复合映射
$\bullet$	`\bullet`	实心点（乘法或列表符号）
$\pm$	`\pm`	正负号
$\mp$	`\mp`	负正号
$\bigoplus$	`\bigoplus`	直和运算符（大运算符版本）
$\bigotimes$	`\bigotimes`	直积运算符（大运算符版本）
$\bigodot$	`\bigodot`	直乘运算符（大运算符版本）

5. 二元关系符

符号	LaTeX 代码	中文说明
$=$	`=`	等于
$\neq$	`\neq`	不等于
$\approx$	`\approx`	约等于
$\equiv$	`\equiv`	恒等于
$<$	`<`	小于
$>$	`>`	大于
$\leq$	`\leq`	小于等于
$\geq$	`\geq`	大于等于
$\ll$	`\ll`	远小于
$\gg$	`\gg`	远大于
$\prec$	`\prec`	先于（偏序关系）
$\succ$	`\succ`	后于（偏序关系）
$\preceq$	`\preceq`	小于等于（偏序）
$\succeq$	`\succeq`	大于等于（偏序）
$\sim$	`\sim`	相似于
$\nsim$	`\nsim`	不相似
$\simeq$	`\simeq`	同构
$\asymp$	`\asymp`	渐近等于
$\propto$	`\propto`	成比例

6. 逻辑符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\wedge$	`\wedge`	逻辑与（合取）
$\vee$	`\vee`	逻辑或（析取）
$\neg$	`\neg`	逻辑非（否定）
$\Rightarrow$	`\Rightarrow`	蕴含（如果...那么）
$\Leftrightarrow$	`\Leftrightarrow`	当且仅当
$\forall$	`\forall`	对所有
$\exists$	`\exists`	存在
$\nexists$	`\nexists`	不存在
$\top$	`\top`	逻辑真
$\bot$	`\bot`	逻辑假

7. 集合符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\emptyset$	`\emptyset`	空集
$\in$	`\in`	属于
$\notin$	`\notin`	不属于
$\subseteq$	`\subseteq`	子集
$\subset$	`\subset`	真子集
$\nsubseteq$	`\nsubseteq`	不是子集
$\supset$	`\supset`	包含
$\supseteq$	`\supseteq`	超集
$\nsupseteq$	`\nsupseteq`	不是超集
$\cup$	`\cup`	并集
$\cap$	`\cap`	交集
$\setminus$	`\setminus`	差集
$\bigcup$	`\bigcup`	大并集
$\bigcap$	`\bigcap`	大交集

8. 箭头符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\to$	`\to`	右箭头
$\leftarrow$	`\leftarrow`	左箭头
$\Rightarrow$	`\Rightarrow`	右蕴含箭头
$\Leftarrow$	`\Leftarrow`	左蕴含箭头
$\leftrightarrow$	`\leftrightarrow`	左右箭头
$\Leftrightarrow$	`\Leftrightarrow`	双向蕴含箭头
$\longrightarrow$	`\longrightarrow`	长右箭头
$\longleftarrow$	`\longleftarrow`	长左箭头
$\mapsto$	`\mapsto`	映射箭头
$\longmapsto$	`\longmapsto`	长映射箭头
$\uparrow$	`\uparrow`	向上箭头
$\downarrow$	`\downarrow`	向下箭头
$\updownarrow$	`\updownarrow`	上下箭头
$\Uparrow$	`\Uparrow`	向上双箭头
$\Downarrow$	`\Downarrow`	向下双箭头
$\Updownarrow$	`\Updownarrow`	上下双箭头

9. 分数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\frac{a}{b}$	`\frac{a}{b}`	普通分数
$\dfrac{a}{b}$	`\dfrac{a}{b}`	强制分数（适用于行内公式）
$\tfrac{a}{b}$	`\tfrac{a}{b}`	小型分数（适用于较小的公式）

10. 根式

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\sqrt{x}$	`\sqrt{x}`	平方根
$\sqrt[n]{x}$	`\sqrt[n]{x}`	n 次方根

11. 指数与对数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$a^b$	`a^b`	指数
$e^x$	`e^x`	自然指数
$\log x$	`\log x`	对数（默认底数为10）
$\ln x$	`\ln x`	自然对数（底数为 e）
$\log_a b$	`\log_a b`	底数 a 的对数

12. 微分与导数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\dfrac{d}{dx} f(x)$	`\dfrac{d}{dx} f(x)`	一阶导数
$\dfrac{d^2}{dx^2} f(x)$	`\dfrac{d^2}{dx^2} f(x)`	二阶导数
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$	`\dfrac{\partial f}{\partial x}`	偏导数
$\nabla f$	`\nabla f`	梯度
$\Delta f$	`\Delta f`	拉普拉斯算子
$\dot{x}$	`\dot{x}`	一阶导数（牛顿记号）
$\ddot{x}$	`\ddot{x}`	二阶导数（牛顿记号）

13. 极限

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\lim_{x \to a} f(x)$	`\lim_{x \to a} f(x)`	极限
$\lim_{x \to \infty} f(x)$	`\lim_{x \to \infty} f(x)`	无穷极限

14. 积分

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\int f(x)dx$	`\int f(x)dx`	不定积分
$\int_{a}^{b} f(x)dx$	`\int_{a}^{b} f(x)dx`	定积分
$\iint f(x,y)dxdy$	`\iint f(x,y)dxdy`	二重积分
$\iiint f(x,y,z)dxdydz$	`\iiint f(x,y,z)dxdydz`	三重积分

15. 矩阵

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$	`\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}`	方括号矩阵
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$	`\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}`	圆括号矩阵
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$	`\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}`	行列式
$\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}$	`\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}`	双竖线矩阵
$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$	`\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}`	无括号矩阵

16. 向量

16.1 向量的加粗表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{v}$	`\mathbf{v}`	向量，适用于字母
$\mathbf{v}$	`\bm{v}`	加粗向量（适用于所有数学符号，需 `\usepackage{bm}`）
$\boldsymbol{\alpha}$	`\boldsymbol{\alpha}`	加粗希腊字母（适用于 `\alpha, \beta` 等）

16.2. 向量的箭头表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\vec{v}$	`\vec{v}`	向量符号，表示带箭头的向量
$\overrightarrow{AB}$	`\overrightarrow{AB}`	表示从 A 指向 B 的向量
$\overleftarrow{AB}$	`\overleftarrow{AB}`	表示从 B 指向 A 的向量

16.3 单位向量

单位向量表示方向向量，通常用 加帽符号：

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\hat{v}$	`\hat{v}`	单位向量
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$	`\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}`	直角坐标系中的标准基向量

16.4 向量的点积与叉积

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	`\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}`	向量的点积
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$	`\mathbf{a} \times \mathbf{b}`	向量的叉积

17. 方程与方程组

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\begin{aligned} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{aligned}$	`\begin{aligned} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{aligned}`	对齐的方程组
$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$	`\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}`	分段定义或方程组

18. 空格与换行

符号	LaTeX 代码	中文说明
$a\ b$	`a\ b`	小空格
$a\quad b$	`a\quad b`	大空格
$a\qquad b$	`a\qquad b`	超大空格
$a\ b$	`a\\ b`	换行
$a,b$	`a\,b`	细小空格
$a!b$	`a\!b`	负空格（缩小间距）
$\text{This is a~test.}$	`\text{This is a~test.}`	硬空格

19. 颜色

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\textcolor{red}{text}$	`\textcolor{red}{text}`	颜色（红色）
$\textcolor{blue}{text}$	`\textcolor{blue}{text}`	颜色（蓝色）
$\color{green}text$	`\color{green}text`	颜色（绿色）

20. 字体

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{x}$	`\mathbf{x}`	加粗
$\mathit{x}$	`\mathit{x}`	斜体
$\mathcal{L}$	`\mathcal{L}`	手写体
$\mathbb{R}$	`\mathbb{R}`	黑板体（常用于数集）
$\mathrm{x}$	`\mathrm{x}`	直立体
$\mathtt{x}$	`\mathtt{x}`	打字机字体
$\mathscr{L}$	`\mathscr{L}`	花体（数学符号）

示例1 线性代数

1.1 矩阵乘法

给定两个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$ ，它们的矩阵乘法定义如下：

$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$

C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}

说明：矩阵 $C$ 的元素 $C_{ij}$ 由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列按对应元素相乘后求和得到。

1.2 特征值与特征向量

对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，如果存在非零向量 $\bm{v}$ 和标量 $\lambda$ 使得：

$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

说明：当矩阵 $A$ 作用于向量 $\mathbf{v}$ 上时， $\mathbf{v}$ 仅仅被缩放（即乘以特征值 $\lambda$ ），方向不变。

1.3 奇异值分解（SVD）

任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 可分解为：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

其中：

$U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是正交矩阵，
$V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵，
$\Sigma$ 是对角矩阵，包含奇异值 $\sigma_i$ 。

A = U \Sigma V^T

说明：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于降维、压缩、信号处理等。

示例2 概率统计

2.1 贝叶斯定理

对于事件 $A$ 和 $B$ ，如果 $P(B) > 0$ ，则贝叶斯定理表示为：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}

说明：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于机器学习、医学诊断、自然语言处理等领域。

2.2 期望与方差

2.2.1 期望

设随机变量 $X$ 服从概率分布 $P(X)$ ，则：

$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$

\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)

说明：数学期望表示随机变量 $X$ 的加权平均值，即它的平均趋势。

2.2.2 方差

随机变量 $X$ 的方差定义为：

$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$

\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]

说明：方差度量了随机变量 $X$ 偏离均值的程度，方差越大，数据的离散性越强。

2.3 高斯分布（正态分布）

随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$ ，方差 $\sigma^2$ 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：

$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

说明：高斯分布是最重要的概率分布之一，在自然科学、工程、机器学习等领域中应用广泛。

示例3 机器学习

3.1 线性回归模型

在线性回归模型中，如果试图找到一个线性函数来拟合数据点 $(x_i, y_i)$ ，那么数学表达式如下：

$$
y = w^T x + b
$$

y = w^T x + b

使用最小二乘法（OLS）来估计参数 $w$ ，会用到最小化均方误差（MSE）：

$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$

L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2

说明：线性回归是机器学习最基础的回归模型，在统计建模、预测分析等领域广泛应用。

3.2 Kullback-Leibler (KL) 散度

KL 散度用于衡量两个概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 之间的差异，定义如下：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$

D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}

或者对于连续概率分布：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$

D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx

说明：KL 散度用于衡量两个概率分布之间的相对熵，在信息论、概率统计、机器学习等领域中应用广泛。

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