线性代数

给定两个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$ ，它们的矩阵乘法定义如下：

$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$

C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}

说明：矩阵 $C$ 的元素 $C_{ij}$ 由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列按对应元素相乘后求和得到。

对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，如果存在非零向量 $\bm{v}$ 和标量 $\lambda$ 使得：

$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

说明：当矩阵 $A$ 作用于向量 $\mathbf{v}$ 上时， $\mathbf{v}$ 仅仅被缩放（即乘以特征值 $\lambda$ ），方向不变。

任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 可分解为：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

其中：

A = U \Sigma V^T

说明：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于降维、压缩、信号处理等。