概率统计

对于事件 $A$ 和 $B$ ，如果 $P(B) > 0$ ，则贝叶斯定理表示为：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}

说明：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于机器学习、医学诊断、自然语言处理等领域。

设随机变量 $X$ 服从概率分布 $P(X)$ ，则：

$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$

\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)

说明：数学期望表示随机变量 $X$ 的加权平均值，即它的平均趋势。

随机变量 $X$ 的方差定义为：

$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$

\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]

说明：方差度量了随机变量 $X$ 偏离均值的程度，方差越大，数据的离散性越强。

随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$ ，方差 $\sigma^2$ 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：

$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

说明：高斯分布是最重要的概率分布之一，在自然科学、工程、机器学习等领域中应用广泛。